FUNÇÕES
O que é uma função?
Uma função é toda a correspondência unívoca, onde a cada elemento do conjunto de partida, x, corresponde um e só um elemento do conjunto de chegada, y.
Representação de funções
Uma função pode ser representada através de:
- Tabelas;
- Gráficos;
- Expressões analíticas;
- Diagramas de setas.
Tipos de funções
- Função constante (y = k);
- Função de proporcionalidade direta (y = kx);
- Função de proporcionalidade inversa (y = k/x);
- Função afim (y = kx + b);
- Função quadrática (y = kx²).
Alguns conceitos básicos
- Domínio da função: É o conjunto de valores que a variável independente x pode tomar e representa-se por D.
- Contradomínio da função: É o conjunto de valores que a variavel dependente y pode tomar e representa-se por D'.
- Sinal de uma função: Dada uma função de domínio D e I como o subconjunto de D (I ⊂ D), diz-se que:
- f é negativa em I se e só se f(x) < 0, ∀x ∈ I.
- Zeros de uma função: Um zero de uma função f é um objeto de domínio de f, Df, cuja imagem é nula, ou seja, a é zero de uma função f se e só se f(a) = 0.
- Monotonia de uma função:
- Uma função f é estritamente crescente num intervalo de I do seu domínio se e só se:
- Uma função f é decrescente num intervalo I do seu domínio se e só se:
- Uma função f é estritamente decrescente num intervalo I do seu domínio se e só se:
- Continuidade: Uma função f é contínua num intervalo do seu domínio se o seu gráfico não apresentar interrupções nos pontos desse intervalo.
- Injetividade: Uma função f é injetiva se a objetos diferentes correspondem imagens diferentes.
Funções quadráticas
O que é uma função quadrática?
Definição: Uma função real de variável real definida por um polinómio de 2º grau, ou seja, definida por uma expressão do tipo y = ax² + bx + c com a ≠ 0, é designada por função quadrática.. O gráfico deste tipo de função é uma parábola.
- Uma parábola é o conjunto dos pontos do plano equidistantes de um ponto - o foco - e de uma reta - a diretriz - que não contém esse ponto. Todos os pontos que constituem a parábola encontram-se à mesma distância do foco e da diretriz.
- Propriedade focal/refletora: Todo o raio incidente na parábola, paralelo ao seu eixo de simetria, reflete-se passando 0pelo foco. Esta propriedade é útil, por exemplo, no mecanismo de funcionamento das antenas parabólicas assim como na construção dos radiotelescópios.
Família de Funções Quadráticas
Família de funções do tipo y = ax²
Vamos começar por explicar a variação dos diferentes parâmetros que podem alterar o comportamento de uma parábola que representa a função y = ax²:
- Parâmetro a
- g(x)= 0.5x²
- h(x) = x²
- i(x)= 3x²
- r(x) = - 0.5x²
- s(x) = - x²
- t(x) = - 3x²
Analisemos o comportamento dos gráficos para os diversos valores de a:
Se a > 0:
Se a > 0:
Concavidade: voltada para cima
Se a < 0:
Concavidade: voltada para baixo
Conclusão:
O estudo deste tipo de funções fica resumido no quadro seguinte:
- o sinal do coeficiente a influencia o sentido da concavidade;
- o valor absoluto de a influencia a abertura da parábola. Quanto maior é o valor absoluto de a, menor é a abertura da parábola;
- qualquer uma destas parábolas tem vértice no ponto (0,0) e o eixo de simetria é a reta de equação x = 0, de onde se conclui que são independentes de a.
O estudo deste tipo de funções fica resumido no quadro seguinte:
Família de funções do tipo y = a(x - h)²
Considerando que a a = 1 e h = 2, tem-se a função y = (x-2)².
Vamos agora comparar as tabelas de valores e os respetivos gráficos das funções g(x) = x² e f(x) = (x-2)².
Vamos agora comparar as tabelas de valores e os respetivos gráficos das funções g(x) = x² e f(x) = (x-2)².
Após a observação do comportamento de ambos os gráficos e suas tabelas representativas, conclui-se que o gráfico da função y = (x-2)² é obtido a partir do gráfico da função y = x², deslocando-se duas unidades para a direita.
OUTRO EXEMPLO:
Podemos verificar a partir do gráfico seguinte, que a função y = (x + 3)², deriva da função y = x², deslocando-se três unidades para a esquerda:
OUTRO EXEMPLO:
Podemos verificar a partir do gráfico seguinte, que a função y = (x + 3)², deriva da função y = x², deslocando-se três unidades para a esquerda:
Conclusão: Considerando apenas funções do tipo y = (x - h)², podemos observar que:
- se h for positivo, logo, o vértice do gráfico vai sofrer uma translação associada ao vetor (h,0), ou seja, vai se deslocar h unidades para a direita. O eixo de simetria vai ser a reta de equação x = h.
- Se o h for negativo, a função será do tipo y = (x + h)², o respetivo vértice do seu gráfico vai sofrer uma translação associada ao vetor (-h,0), ou seja, vai se deslocar h unidades para a esquerda. O eixo de simetria vai ser a reta de equação x = -h.
- A parábola que representa o gráfico da função definida por y = (x - h) ² , a função d, possuí a mesma abertura e o mesmo sentido da concavidade do que o gráfico da função y = x², a função n. O gráfico da função d resulta do gráfico da função n através de uma translação na direção do eixo dos xx (horizontal), associada ao vetor (h,0).
Família de funções do tipo y = ax² + k
Vamos agora tratar uma nova familia de funções, considerando os seguintes exemplos:
A seguir, apresentam-se uma tabela de valores e representações gráficas das funções dadas e da função de referência a(x) = x².
- se a = 1 e k = 2, obtém-se a função f(x) = x² +2;
- se a = 1 e k = -1, obtém-se a função j(x) = x² - 1;
A seguir, apresentam-se uma tabela de valores e representações gráficas das funções dadas e da função de referência a(x) = x².
- O gráfico da função y = x² + 2 obtém.-se a partir do gráfico de y = x², deslocando-o duas unidades para cima (as ordenadas sofrem um acréscimo de duas unidades).
- O gráfico da função y = x² - 2 obtém-se a partir do gráfico de y = x², deslocando-o duas unidades para baixo (as ordenadas sofrem um decréscimo de duas unidades).
Conclusão: As mudanças do parâmetro k nos gráficos da funções do tipo y = ax² + k, com a ≠ 0, fazem-se sentir na localização do vértice da parábola sobre o eixo das ordenadas.
A uma função do tipo y = ax², se adicionarmos um valor de k, o gráfico dessa função vai se deslocar respetivamente k unidades, ou seja vai ocorrer uma translação do gráfico associada a um vetor (0, k).
- Vértice: (0, k);
- Eixo de simetria: x = 0.
Família de funções do tipo y = a(x - h)² + k
Se considerarmos que a = 1, que h = 2 e que k = 3, obtem-se a função y = (x - 2)² + 3.
É possível obter-se o gráfico desta função a partir do gráfico da função y = x², mas como?
Ao variarmos os diferentes parâmetros podemos concluir que:
Conclusão: Um gráfico de uma função do tipo y = a(x - h)² + k, com a ≠ 0 é uma parábola com as seguintes características:
- Através de uma translação horizontal associada ao vetor de coordenadas (2,0). Com esta translação obtemos a parábola da função y = (x - 2)².
- De seguida, através da translação vertical associada ao vetor de coordenadas (0,3), obtemos o gráfico da função y = (x - 2)² + 3.
Ao variarmos os diferentes parâmetros podemos concluir que:
- ao variarmos o valor de h, o gráfico da função sofre uma translação horizontal associada ao vetor (h, 0);
- ao variarmos o valor de k, o gráfico da função sofre uma translação vertical associada ao vetor (0,k).
Conclusão: Um gráfico de uma função do tipo y = a(x - h)² + k, com a ≠ 0 é uma parábola com as seguintes características:
- Concavidade voltada para cima se a > 0 e voltada para baixo se a < 0;
- Vértice no ponto de coordenadas (h,k);
- Eixo de simetria é a reta da equação x = h.
Família de funções do tipo y = ax² + bx + c
Considerando o gráfico da função f(x) = x² - 2x - 3:
Como calcular o vértice:
Para obtermos as coordenadas do vértice podemos utilizar diversos processos, iremos apresentar dois métodos diferentes:
Método 1O cálculo dos zeros vai permitir a determinação da abcissa do vértice da parábola:
Método 2
Para obter o vértice da parábola é determinar as soluções de f(x)=c, neste caso particular, f(x)=-3. Desta forma, obtemos a função g tal que g(x) = x² - 2x. Os zeros da função g correspondem às soluções de uma equação incompleta de 2º grau:
Ordenada do vértice: g (1) = 1² -2 x 1 = -1.
O gráfico da função tem vértice em (1, -1). Sendo f(x) = g(x) - 3, o gráfico de f obtém-se a partir do gráfico de g deslocando-o três unidades para baixo.
Método 1O cálculo dos zeros vai permitir a determinação da abcissa do vértice da parábola:
- f (x) = 0 ⇔ x² -2x -3 = 0; resolvendo esta equação com a fórmula resolvente, obtemos os seguintes zeros: x = -1 V x = -3.
- Para calcularmos a abcissa do vértice temos de fazer a média dos valores dos zeros, ou seja: (-1+3) / 2 = 1. A partir deste cálculo podemos concluir que a abcissa do vértice é 1.
- Para calcular a ordenada do vértice na expressão analítica y = x² - 2x - 3, substitui-se o x por 1. Após resolvermos esta expressão, chegamos a conclusão que a ordenada do vértice é -4.
Método 2
Para obter o vértice da parábola é determinar as soluções de f(x)=c, neste caso particular, f(x)=-3. Desta forma, obtemos a função g tal que g(x) = x² - 2x. Os zeros da função g correspondem às soluções de uma equação incompleta de 2º grau:
- x² - 2x = 0 ⇔ x(x-2) = 0 ⇔ x = 0 V x = 2
Ordenada do vértice: g (1) = 1² -2 x 1 = -1.
O gráfico da função tem vértice em (1, -1). Sendo f(x) = g(x) - 3, o gráfico de f obtém-se a partir do gráfico de g deslocando-o três unidades para baixo.
Conclusão: Para determinar o vértice de uma parábola, partindo da expressão analitica que define uma função quadrática: f(x) = ax² + bx + c, começa-se por resolver a equação f(x) = f(0):
ax² + bx + c = c ⇔ ax² + bx = 0 ⇔ x(ax + b) = 0 ⇔x = 0 V x = -b/a.
As soluções da equação são abcissas de pontos da parábola simétricos em relação ao eixo de simetria. Assim, determina-se a abcissa do vértice atráves da média aritmética dos zeros, ou seja:
ax² + bx + c = c ⇔ ax² + bx = 0 ⇔ x(ax + b) = 0 ⇔x = 0 V x = -b/a.
As soluções da equação são abcissas de pontos da parábola simétricos em relação ao eixo de simetria. Assim, determina-se a abcissa do vértice atráves da média aritmética dos zeros, ou seja:
Variação da parábola segundo a equação f(x) = ax² + bx +c
Conclusão:
Conclusão:
- Se o valor de a > 0, a concavidade da parábola é voltada para cima. Quando o valor de a < 0, a concavidade da parábola fica voltada para baixo.
- Quanto maior for |a|, a concavidade da parábola comprime-se, acontecendo o oposto, ou seja, ocorrendo uma dilatação quanto menor for |a|.
- Quando o valor de b > 0, a parábola move-se numa outra parábola com função f(x) = -ax² + c para a esquerda. Quando o valor de b < 0, a parábola move-se numa outra parábola com função f(x) = -ax² + c para a direita.
- Quando o valor de c < 0, a parábola move-se para baixo. Quando o valor de c > 0, a parábola move-se para cima.